EAN-13 條碼的數學：檢查碼、編碼結構與日本 JAN 制度

Norman Joseph Woodland 與 Bernard Silver 在 1952 年取得美國專利《Classifying Apparatus and Method》，當中展示了平行線及同心圓的編碼例子。這些構想是條碼的早期形式，並不是後來的 UPC 標準。

1973 年，美國食品零售業採納 Universal Product Code（UPC）為標準。IBM 的 George Laurer 設計的 UPC-A，以線條表示 12 位數字。1974 年 6 月 26 日，美國俄亥俄州 Troy 的 Marsh 超市掃描了一包 Wrigley's Juicy Fruit 香口膠，成為著名的首次零售收銀 UPC 貨品條碼掃描。這項紀錄並不包括此前以試驗裝置進行的條碼讀取。

EAN 保留了與 UPC 的兼容性，並擴展國際貨品編號體系。日本 JAN 碼分為 13 位數的標準型及 8 位數的縮短型，分別以 EAN-13 和 EAN-8 符號表示。以下主要討論 GS1 體系中的 13 位數形式。

一般透過 GS1 公司前綴（GS1 Company Prefix）建立的 GTIN-13，由公司前綴、貨品參考編號及檢查碼組成。公司前綴的長度可以不同，因此不能將所有號碼都在同一位置切開，以區分公司與貨品部分。

例子中的號碼只供計算示範，並不授予使用權，也不表示該號碼尚未被使用。ISBN 等特別編號體系，以及限制流通範圍的號碼，不能一概按上述一般公司前綴方式拆分。

GS1 前綴 450 至 459 和 490 至 499 分配予 GS1 Japan，但不代表貨品的生產地或原產地。前綴反映所屬的 GS1 編號組織，貨品仍可在其他地方生產。

GS1 Japan 提供 7、9 或 10 位數的公司前綴，與貨品參考編號合共組成首 12 位數，再加上 1 位檢查碼成為 GTIN-13。這裏說明的是日本制度，並非香港或其他地區的申請程序。

將首 12 位數由左至右排列：第 1、3、5 等奇數位置乘以 1，第 2、4、6 等偶數位置乘以 3。把各乘積相加，求出總和除以 10 的餘數，再計算 （10 − 餘數）mod 10。mod 表示取餘數。

以 490123456789 為例：

權重 1：4 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 24
權重 3：9 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 34；34 × 3 = 102
加權總和：24 + 102 = 126
餘數：126 mod 10 = 6
檢查碼：（10 − 6）mod 10 = 4

這個方法能偵測不少相鄰數字對調的錯誤。例如將 48 寫成 84，加權總和的變化不是 10 的倍數，檢查結果便會改變。不過，相鄰而相差 5 的數字對調，無法被偵測：0↔5、1↔6、2↔7、3↔8、4↔9。例如 4901234567894 和 9401234567894 都能通過檢查。

若原本是一組有效、固定為 13 位的號碼，只將其中一位換成另一個十進制數字，無論改動的是資料位還是檢查碼，都能被偵測。這屬於錯誤偵測，而非錯誤修正；它不能發現所有多位數字改動，也不能辨別貨品真偽。

以下 JavaScript 學習例子接收一個恰好包含 12 個 ASCII 數字的字串，並傳回檢查碼。號碼應以字串保存，避免遺失開頭的零。

function ean13CheckDigit(payload) {
  if (typeof payload !== "string" || !/^[0-9]{12}$/.test(payload)) {
    throw new TypeError("請輸入剛好 12 個 ASCII 數字");
  }
  const sum = [...payload].reduce(
    (total, digit, index) => total + Number(digit) * (index % 2 === 0 ? 1 : 3),
    0
  );
  return String((10 - sum % 10) % 10);
}
console.log(ean13CheckDigit("490123456789")); // "4"

學習用的驗算、正式分配貨品編號，以及印刷條碼檢驗，是三回事。NanToo 的日文版條碼產生工具不會核實號碼的分配狀態或貨品真偽；其 ITF-14 輸出是沒有承載條（bearer bars）的簡化符號，並不保證符合商業印刷規格。

模組（module）是條碼橫向尺寸的最小單位。EAN-13 將 12 位數字直接編成各佔 7 個模組的字元；餘下的首位數字，則透過編碼組合表達。以下以 1 代表深色模組、0 代表淺色模組。

表格依據：GS1 General Specifications Release 26.0，第 5.2.3.4–5 節及第 5.2.6.3 節。不計空白區共 95 個模組，計入最小空白區則為 113 個模組。若每個模組的實際闊度為 X，左側至少須留 11X，右側至少須留 7X。這只是橫向結構，不能代替印刷時對 X 尺寸、條高、對比及品質的檢驗。

L、G、R 三組編碼，分別對應 GS1 的 A、B、C 集合。這裏的奇偶性（parity）是指一個字元內深色模組數量的奇偶，並非所代表數字本身是單數還是雙數。

• L／A 集合：深色模組數為奇數，用於左半邊，從淺色模組開始。
• G／B 集合：深色模組數為偶數，同樣用於左半邊，從淺色模組開始。
• R／C 集合：用於右半邊，是 L 編碼的深淺色反轉。

例如數字 0 的 L 編碼是 0001101，G 是 0100111，R 是 1110010。將 L 的深淺色對調便得到 R；再將 R 的排列左右倒轉，便得到 G。

首位數字不會另佔一個 7 模組字元，而是決定左側 6 個字元的 L/G 組合。首位為 4 時採用 LGLLGG，首位為 0 時採用 LLLLLL。開頭的 0 預留作 GTIN-12 的表示方式，以維持 UPC 兼容性。

EAN/UPC 的符號結構支援雙向解碼。不過，掃描仍須橫越條碼線條，並具備足夠空白區、合適的印刷品質和相應讀取設備。這並不代表任何掃描器都能以任意角度讀取受損條碼。

• 對稱圖樣：左右護欄都是 101，中央護欄為 01010，反向讀取時排列不變。
• 編碼集合與排列：反向讀取 R 字元會得到 G 的圖樣。由於左半邊可以同時使用 L 與 G，不能只靠單一字元的奇偶性判斷方向；還須結合護欄位置、允許的編碼組合、位數及檢查碼。
• 恢復數字次序：解碼器比對符號結構，按掃描方向還原正確的數字排列。

以上解釋的是符號為何支援反向解碼，不表示所有掃描器都必須採用同一套實作步驟。

不同條碼格式各有用途和限制：

EAN-13 只承載固定 13 位數的識別碼。Code 128 雖然長度可變，但資料越多，條碼便越闊，仍受標籤空間、最小線寬及讀取設備限制；並沒有適用於所有用途的「最多數十個字元」上限。QR Code、Data Matrix 等二維條碼則提供承載更多資料的其他方式。如想了解符號受損時的資料恢復原理，可參閱QR Code 錯誤修正等級解說。

• 一般透過公司前綴建立的 GTIN-13，由 GS1 公司前綴、貨品參考編號及檢查碼組成。號碼與 EAN-13 條碼符號是兩回事。
• 以 1 和 3 交替加權，可偵測有效固定長度號碼的每一種單一數字替換；相鄰且相差 5 的數字對調則無法被偵測。
• 12 個各佔 7 模組的字元，加上護欄共 95 個模組，連同最小空白區為 113 個模組。
• 首位數字以左側 L/G 組合表示，不另佔一個 7 模組字元。
• 符號結構支援雙向解碼，實際讀取仍取決於印刷及掃描條件。
• UPC 在 1973 年獲採納，1974 年出現著名的首次零售收銀掃描。現時國際貨品識別體系由 GS1 維護。