EAN-13 條碼的數學：檢查碼、奇偶編碼與日本 JAN 制度

Norman Joseph Woodland 與 Bernard Silver 於 1952 年取得的美國專利《Classifying Apparatus and Method》，描述了平行線與同心圓的編碼範例。這些設計是後來條碼的前身，並非之後的 UPC 標準。

1973 年，美國食品零售業採用 Universal Product Code（UPC）作為標準。IBM 的 George Laurer 設計了表示 12 位數號碼的 UPC-A。1974 年 6 月 26 日，美國俄亥俄州 Troy 的 Marsh 超市掃描了一包 Wrigley's Juicy Fruit 口香糖，成為著名的首次零售結帳 UPC 商品條碼掃描案例。這不表示此前從未有實驗裝置讀取過條碼。

EAN 在保留 UPC 相容性的基礎上，擴展了國際商品編號體系。日本 JAN 碼有 13 位數的標準型與 8 位數的縮短型，分別使用 EAN-13 與 EAN-8 符號。本文以 GS1 體系中的 13 位數形式為主。

使用 GS1 公司前置碼（GS1 Company Prefix）建立的 GTIN-13，由公司前置碼、商品項目參考碼與檢查碼組成。公司前置碼的長度並不固定，因此不能對所有號碼都用同一個位置切分公司與商品部分。

這個號碼只用來示範計算，並不授予使用權，也不表示它尚未被使用。ISBN 等特殊編號體系與限定流通號碼，不能一律套用上述一般公司前置碼的拆分方式。

GS1 前置碼 450～459 與 490～499 分配給 GS1 Japan，但不代表商品的製造國或原產地。前置碼指出所屬的 GS1 編號組織，商品仍可能在其他地方製造。

在日本制度下，GS1 Japan 提供 7、9 或 10 位數的公司前置碼，搭配商品項目參考碼補足前 12 位，再加上最後 1 位檢查碼，形成 GTIN-13。這裡說明的是日本的編配方式，不是台灣或其他地區的申請流程。

將前 12 位數由左至右排列，第 1、3、5 等奇數位置乘以 1，第 2、4、6 等偶數位置乘以 3。把乘積相加後取除以 10 的餘數，再計算 （10 − 餘數）mod 10。mod 表示取餘數。

以前 12 位數 490123456789 為例：

權重 1：4 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 24
權重 3：9 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 34；34 × 3 = 102
加權總和：24 + 102 = 126
餘數：126 mod 10 = 6
檢查碼：（10 − 6）mod 10 = 4

這個方法能偵測許多相鄰數字對調的錯誤。例如把 48 對調成 84，加權總和的變化不是 10 的倍數，因此檢查結果會改變。不過，相鄰且相差 5 的數字對調，無法被偵測：0↔5、1↔6、2↔7、3↔8、4↔9。4901234567894 與 9401234567894 都能通過檢查。

若從一組有效且長度固定為 13 位的號碼出發，只把其中 1 位改成另一個十進位數字，包含檢查碼本身，這個方法都能偵測到。這是錯誤偵測，不是錯誤更正；它無法偵測所有多位數變動，也不能驗證商品真偽。

以下可執行的 JavaScript 範例接受恰好 12 個 ASCII 數字，並傳回檢查碼。請用字串保存號碼，以免遺失前導零。

function ean13CheckDigit(payload) {
  if (typeof payload !== "string" || !/^[0-9]{12}$/.test(payload)) {
    throw new TypeError("請輸入恰好 12 個 ASCII 數字");
  }
  const sum = [...payload].reduce(
    (total, digit, index) => total + Number(digit) * (index % 2 === 0 ? 1 : 3),
    0
  );
  return String((10 - sum % 10) % 10);
}
console.log(ean13CheckDigit("490123456789")); // "4"

核對計算、正式編配商品號碼與檢驗印刷條碼，是不同的工作。NanToo 的日文版條碼產生工具也不會確認號碼的編配狀態或商品真偽；其中 ITF-14 輸出是未含承載條（bearer bars）的簡化符號，不能視為商用印刷符合規範的保證。

模組（module）是條碼寬度的最小單位。EAN-13 直接把 12 位數編成各占 7 個模組的字元；最前面的第 1 位則透過編碼組合表示，稍後說明。以下以 1 表示深色模組、0 表示淺色模組。

表格依據：GS1 General Specifications Release 26.0，第 5.2.3.4～5 節與第 5.2.6.3 節。不含空白區共 95 個模組，含最小空白區則為 113 個模組。若 1 個模組的實際寬度是 X，左側至少要留 11X、右側至少要留 7X。這只是橫向結構，不能取代對 X 尺寸、條高、對比與印刷品質的要求。

數字有 L、G、R 三組編碼，分別對應 GS1 的 A、B、C 集合。這裡的奇偶性（parity）指一個字元中深色模組數量的奇數或偶數，不是數字本身的奇偶。

• L／A 集合：深色模組數為奇數，用於左側，從淺色模組開始。
• G／B 集合：深色模組數為偶數，也用於左側，從淺色模組開始。
• R／C 集合：用於右側，是 L 編碼的深淺色反轉。

以數字 0 為例，L 是 0001101、G 是 0100111、R 是 1110010。R 是 L 的深淺色反轉，G 則是 R 的左右反轉。

最前面的第 1 位不會另外占用一個 7 模組字元，而是決定左側 6 個字元採用的 L/G 組合。開頭為 4 時使用 LGLLGG，開頭為 0 時使用 LLLLLL。開頭的 0 保留給 GTIN-12 的表示方式，以維持 UPC 相容性。

EAN/UPC 的結構支援從左右兩個方向解碼。不過，仍須掃過條碼線條、保留足夠空白區、具備合適的印刷品質與讀取設備。這不代表所有掃描器都能以任意角度讀取破損條碼。

• 對稱的護欄：左右護欄都是 101，中央護欄是 01010，反向讀取時仍是相同排列。
• 編碼集合與順序：將 R 字元反向讀取會得到 G 的排列。左半邊可能同時使用 L 與 G，因此不能只憑單一字元的奇偶性判斷方向；還要結合護欄位置、允許的編碼組合、位數與檢查碼。
• 還原數字順序：解碼器比對符號結構，依掃描方向還原正確的數字排列。

以上說明的是支援反向解碼的結構原理，並非規定所有掃描器都必須採用相同的實作步驟。

不同格式有不同用途與限制：

EAN-13 承載固定 13 位數的識別碼。Code 128 雖可變長度，但資料增加時條碼會變寬，仍受標籤空間、最小線寬與讀取設備限制，並不存在適用於所有情境的「最多幾十個字元」上限。QR Code、Data Matrix 等二維條碼則提供其他承載更多資料的方式。若想了解符號受損時如何還原資料，可參閱QR Code 錯誤更正等級的說明。

• 一般以公司前置碼建立的 GTIN-13，由 GS1 公司前置碼、商品項目參考碼與檢查碼組成；號碼與 EAN-13 條碼符號是不同概念。
• 交替使用 1 與 3 的權重，可偵測有效固定長度號碼中的每一種單一數字替換，但相鄰且相差 5 的數字對調無法被偵測。
• 12 個各占 7 模組的字元，加上護欄共 95 個模組，含最小空白區則為 113 個模組。
• 最前面的第 1 位透過左側 L/G 組合表示，不另占一個 7 模組字元。
• 條碼結構支援從兩個方向解碼，但實際讀取仍受印刷與掃描條件影響。
• UPC 於 1973 年獲採用，1974 年出現著名的首次零售結帳掃描。如今由 GS1 維護國際商品識別體系。