音程のセントと平均律・純正律 — 1200 log₂ で紐解く音の数学

セント(cent)は 19世紀の音響学者 Alexander Ellis が定義した対数尺度で、以下の式で表されます:

cents = 1200 × log₂(f₂ / f₁)

この定義から以下が導かれます:

• 1オクターブ(周波数 2倍) = 1200 cent
• 1半音 = 1200 / 12 = 100 cent
• 1 cent の周波数比 = 2^(1/1200) ≈ 1.0005778

対数で定義されているため、周波数がどの帯域であっても同じセント数なら同じ"音高距離"に感じられます。これは人間の聴覚特性(Weber-Fechner 則、刺激の対数で感覚が変化する)と整合的です。

現代のピアノ、ギターのフレット、電子チューナーなどで標準的に使われているのが12音平均律です。1オクターブを指数的に 12 等分した音律で、各半音の比は常に:

semitone_ratio = 2^(1/12) ≈ 1.05946

A4 = 440 Hz を基準にすると、各音の周波数は以下のようになります:

平均律の利点はどの調に転調しても同じ響きになること。欠点は後述するように、純正律の整数比から微妙にずれるため、協和音の響きがやや濁ることです。

純正律は、和音を構成する音を単純な整数比(3:2, 4:3, 5:4 など)で取る音律です。古代ギリシャのピタゴラス以来研究されてきました。

長3度(例: C-E)の -13.686 cent は、訓練された耳ではっきり聞き取れる差です。ア・カペラ合唱やバロック音楽では、この純正な響きを意図的に再現することで"澄んだハーモニー"が得られます。

純正律は 特定の基準音 を起点にした整数比で作るため、転調すると比率が崩れます。例えば C 調で純正に調律したピアノを G 調で弾くと、G-B-D が純正 5:4 比率から外れます。

鍵盤楽器やフレット楽器のようにすべての調に対応する必要がある楽器では、この"転調の壁"が致命的でした。平均律は完全5度を 2 cent ほど狭くする妥協と引き換えに、全 12調で同じ響きを得られる利便性を実現しています。

この音律を数学的に詳述した最古の文献は、中国の朱載堉(1584年)と、ほぼ同時期の欧州のサイモン・ステヴィン(1605年頃)とされています。現代の標準化は、18世紀のJ.S.バッハの時代に本格化しました。

音楽的に意味のある最小単位は何セントか。心理音響学の研究によれば:

• 2〜5 cent: 訓練された音楽家が単独音で聞き取れる最小差(JND, Just Noticeable Difference)
• 5〜10 cent: 一般的なリスナーが連続音で気づく差
• 10〜20 cent: 和音でユニゾン(同一音)が濁って聞こえ始めるレベル
• 30 cent 以上: 明確に音痴と認識される

つまり、チューナーで ±5 cent 以内に合っていれば実用上問題なく、±10 cent 超だと和音で違和感が出る、というのが目安です。

DAW(Digital Audio Workstation)では、セント単位の微調整が当たり前に使われます。代表的な用途:

• コーラスエフェクト: 同じ音源を +7 cent / -7 cent ずらして重ねると、1つの声が厚く聞こえる
• ピッチ補正(Auto-Tune, Melodyne): 歌唱のずれをセント単位で調整。±20 cent までに収めるのが自然な補正の目安
• ビブラート: ±50 cent 以内が一般的、オペラでは ±100 cent を超えることも
• Drone(ドローン)音楽: インド古典音楽などでは純正律ベースで長時間持続する和音を使う
• 22平均律・31平均律など: 現代音楽・微分音音楽(microtonal music)で探求される

• セント = 1200 × log₂(f₂/f₁)。対数尺度で音高距離を測る
• 1オクターブ = 1200 cent、1半音 = 100 cent
• 平均律: 2^(1/12) で各半音が等比。転調耐性○、純正律からのずれ最大 ±15.6 cent
• 純正律: 3:2, 5:4 等の整数比。協和音が澄むが、転調に弱い
• JND(聴覚最小差): 訓練された耳で 2〜5 cent、和音の濁りは 10 cent〜
• DAW では ±20 cent 以内が自然なピッチ補正の目安