影像遞色是什麼？Bayer矩陣、Floyd–Steinberg誤差擴散與GIF、ASCII藝術

量化是把輸入對應到有限輸出值的處理。例如黑白二值影像中，每個像素只能輸出黑或白。若一律以同一個臨界值判斷，平緩的漸層也可能被分成大片的黑色與白色區域。

遞色可以依位置改變臨界值，也可以把量化誤差傳給尚未處理的像素，以點的密度表現中間調。在細小紋理能被視覺混合的觀看距離，階調可能顯得更平滑；放大後則可能看見顆粒或規則圖案。細節與文字有時不加遞色反而更清楚，因此它不是必然提升畫質的處理。

常見用途包括黑白印刷、色盤影像及降低位元深度。即使以PNG等無損壓縮格式儲存，若之前已經減色，相對於原始影像仍然是有損轉換。遞色也不是能還原原始像素值的可逆編碼。

B. E. Bayer在1973年的文獻探討如何以兩個輸出階調呈現連續階調影像。這裡使用把4×4臨界值矩陣重複鋪在影像上的黑白教學模型。輸入範圍為0～255，白色為255，黑色為0。以下是說明用的虛擬碼，不能直接當作JavaScript執行。座標從0開始，x向右增加、y向下增加，%表示餘數。

D4 = [[0, 8, 2, 10],
      [12, 4, 14, 6],
      [3, 11, 1, 9],
      [15, 7, 13, 5]]
threshold = (D4[y % 4][x % 4] + 0.5) / 16
output = (input / 255 > threshold) ? 255 : 0

這裡以16個區間的中心作為臨界值，不是直接把0～15的兩端對齊到0～255。輸入0時全部為黑，255時全部為白，127.5時一個區塊內有一半、也就是8個白色像素。均勻輸入時，區塊內的白色像素數可以是0～16，共17種覆蓋程度；每個像素本身仍只有兩種值。這是數值比例的模型，不代表編碼後RGB的50%就是物理光量的50%。

D1 = [[0]]
D(2n) = [[4*Dn,       4*Dn + 2*Un],
         [4*Dn+3*Un, 4*Dn +   Un]]
Un = 所有元素皆為1的 n × n 矩陣

遞迴式的每一項都是n×n矩陣，方括號表示將這些矩陣上下左右拼接的分塊矩陣。依此可擴展為2×2、4×4及8×8。各像素只依賴座標與輸入，適合在GPU上平行運算。不過，即使把矩陣固定在螢幕座標，移動的影像或改變的顏色仍可能跨過臨界值，讓圖案改變；這並不保證影片不會閃爍。

Floyd與Steinberg在1976年的論文是空間誤差擴散的原始文獻之一。由左至右、由上至下處理時，先將包含先前接收誤差的目前值v量化為q，再把e = v − q傳給後續尚未處理的像素。

(x+1, y)   += e * 7/16
(x-1, y+1) += e * 3/16
(x,   y+1) += e * 5/16
(x+1, y+1) += e * 1/16

權重總和為1，但不是平均分配。只有在所有接收位置都存在，且中途不取整、不將數值限制在某個範圍內時，計算上才會把這份誤差全部傳出。若實作直接捨棄落在影像外的分量，邊界就會流失誤差，因此有限大小影像的輸出平均值未必與輸入完全相同。

例如2×1輸入[100, 100]，大於127.5時輸出白，否則輸出黑，並捨棄影像外的誤差。第一個像素變成黑色0，誤差為100。右邊的像素變成100 + 100×7/16 = 143.75，因此輸出白色255。結果是[0, 255]，其總和不等於輸入總和200。「權重和為1，就能完全保留整張影像的平均亮度」是錯誤的理解。

應使用浮點數等適當表示法保存累積誤差。若每一步都存回8位元陣列而截斷數值，或限制在0～255，結果可能不同。處理順序、邊界處理與取整方式都是演算法的條件。

Jarvis–Judice–Ninke、Stucki、Burkes、Sierra及Atkinson等方法，傳遞誤差的位置與權重各不相同。不要只按名稱或發表年份判定優劣，應比較實際的擴散核心與輸出。下表對照gif.js的GIFEncoder.js中三種方法，數值都假設接收位置完整落在影像內。

表格來源：GitHub: gif.js/src/GIFEncoder.js at master · jnordberg/gif.js。這是實作權重的比較，不是對各方法發明年份的認定。

擴散範圍較大，代表要讀取與更新更多像素，但不一定更好看。Atkinson這類只擴散部分誤差的方法，可能失去細微的明暗階調。應以照片、輪廓及想呈現的復古風格實際比較。

使用任意色盤減色時，先選擇可用的顏色，再把各像素對應到色盤項目。若只將RGB各通道獨立取整，可能產生不在色盤內的顏色組合。這與「從色盤選出輸出色，再將差異作為色彩向量擴散」是不同的處理。

採用單純RGB距離或考慮感知的距離，以及在線性光或編碼後RGB中計算誤差，都會影響結果。只指定CIEDE2000或OKLab的名稱，不代表減色一定更自然；仍須進行正確的色彩空間轉換，並依用途評估。色彩空間可參考CSS color-mix()與OKLCH文章。

pngquant結合色盤生成與適應性遞色。單純的「RGB最近鄰＋標準Floyd–Steinberg」四步驟，不能直接當成其完整實作說明。

GIF色彩表最多有256個項目。使用區域色彩表的影像可以有自己的色盤，因此整段動畫不一定只使用同一組256色。遞色不是GIF規格的必要步驟，也與LZW壓縮分開。GIF與LZW專利文章有更詳細的說明。

NanToo的GIF製作工具使用gif.js，但目前呼叫時未指定遞色，預設值是false。函式庫支援Floyd–Steinberg等方法，不等於工具已啟用該功能。

把字元從視覺上較密到較疏排列，就能把亮度對應到字元選擇。不過，字元看起來多深，取決於字型、字距、文字顏色與背景色。N個字元不保證形成感知上等距的N個階調。僅憑字元密度讓影像看起來可辨識，不能認定使用了Floyd–Steinberg。

NanToo的ASCII藝術轉換工具先將透明像素合成到白色背景，並將各通道取整，再使用下列權重與索引對應。這同樣是虛擬碼。N是字元集合的元素數，至少為2；idx是從0開始的索引，floor表示向下取整。R、G、B是合成後0～255的值。

L = 0.299*R + 0.587*G + 0.114*B
mapped = invert ? 255-L : L
idx = min(N-1, max(0, floor(mapped/255 * (N-1))))

這是採用BT.601之luma係數的明亮程度近似值。把這些係數套用在Canvas RGB上，不代表實作了完整的BT.601訊號處理，也不等於線性光的物理輝度。

黑色對應第一個字元，白色對應最後一個；反轉設定會反轉亮度對應。目前的轉換處理沒有誤差擴散，而且可用的字元集合不只一種，因此不能說它「永遠用70個字元忠實重現256階調」。應同時檢查字元排列與字型的實際顯示。

誤差擴散也可能產生規則紋理或條紋。蛇形掃描逐列交替左右方向，由右向左處理的列也必須鏡射擴散核心的水平位移。這有助於減少單一方向的偏差，但不保證消除所有圖案。

有序遞色可以在相同座標重複使用同一個臨界值，但也容易看出重複的區塊紋理。藍雜訊的臨界值排列，以及沿曲線傳遞誤差的Riemersma等，都是其他選擇。ImageMagick提供Riemersma、Floyd–Steinberg誤差擴散及有序遞色的設定。不能只憑產品名稱，就推定每種模式都使用相同核心與掃描方式。

遞色在平坦區域加入細微變化時，壓縮後的檔案可能變大。它是在視覺階調、輪廓、顆粒感、處理時間及檔案大小之間取捨，並不是無代價地增加資訊。

將高精度影像量化到較低位元深度時，遞色是讓色帶較不明顯的選項之一。不過，HDR轉SDR的色調映射是在改變亮度範圍，不等於將數值精度從16位元改為8位元。應把色調映射、色域轉換、量化與遞色視為不同處理階段。

Bayer公式由各像素的座標與輸入決定，因此可在GPU上平行運算。一般的誤差擴散則讓後續像素依賴先前的結果。這個差異會影響實作方式的選擇。

影像的空間遞色、時間方向取樣，以及機器學習模型的INT8量化，都涉及有限的表示方式，但不是同一套演算法。不能因此推論Floyd–Steinberg或Bayer普遍用於AI推論，也不能據此宣稱它們接近資訊理論上的最佳解。

• 量化限制輸出值；遞色改變紋理配置，調整中間階調的視覺感受。
• Bayer使用依座標而定的臨界值；Floyd–Steinberg先量化含累積誤差的值，再以不同權重擴散新誤差。
• 即使權重和為1，影像邊界、取整與範圍限制仍可能使整體平均值不完全保留。
• GIF的色盤限制、減色時的遞色與LZW壓縮，是不同機制。
• ASCII字元對應也不同於誤差擴散，需確認實作、設定及字型。
• 依用途，以實際影像比較顆粒感、輪廓、處理速度及儲存大小。