A4 紙張為何採用 √2？ISO 216、Lichtenberg、B 系列與 Letter

1786 年 10 月，德國科學家 Georg Christoph Lichtenberg 寫信給 Johann Beckmann，談到一種對半裁切後仍保持相似形狀的紙張。他算出其比例，並觀察到眼前的信紙已大致符合這個比例。

這封信是幾何原理與當時既有紙張格式的重要證據，但它本身並不是現代 ISO 標準。Lichtenberg 當時詢問的是這種形狀的起源；後來的制度、法規、工業標準與國際標準化，則是各自獨立的歷史階段。

設長邊為 a、短邊為 b。沿長邊對半裁切後，新長方形的兩邊是 b 與 a/2。要讓兩者相似，必須滿足：

a / b = b / (a / 2)
a² = 2b²
a / b = √2 ≈ 1.41421356

對邊長為正且不是正方形的長方形而言，√2:1 是在這種對半裁切方式下仍保持相似的唯一長寬比。理論面積會減半，相鄰尺寸之間的線性縮放倍率則是 1/√2。

法國 1798 年的一項法規指定了可預示公制 √2 概念的紙張尺寸。德國之後於 1922 年以 DIN 476 將系統化系列標準化，並與 Walter Porstmann 的工作密切相關。國際 A、B 系列於 1975 年成為 ISO 216；目前 ISO 目錄列出的版本是 ISO 216:2007。

這些事件不應被合併描述成一次發明。數學觀察、早期法定尺寸、工業系列與國際標準，回答的是不同的歷史問題。

理論上的 A0 長方形面積為 1 m²，長寬比為 √2:1。後續每一級的面積都減半。ISO 公布的尺寸會取整至整數公釐，因此實際量得的長寬比與面積不會在數學上完全精確。

因此，將實際的 210 × 297 mm 紙張對摺，其中一邊會是 148.5 mm，而標稱 A5 寬度則是 148 mm。此系列是在標準取整規則下維持理論關係。

• A 系列：ISO 216 的主要系列，理論 A0 面積從 1 m² 開始。
• B 系列：在未取整數的幾何構造中，每個 B 尺寸位於相鄰兩個 A 尺寸的幾何平均位置。取整至公釐的標稱尺寸會與精確幾何平均略有差異。
• C 信封系列：在未取整數的幾何構造中，同級 C 尺寸位於 A 與 B 之間，以便容納 A 系列紙張。ISO 269 曾規定 C 系列信封，但該標準已於 2009 年撤銷。C4、C5 仍透過其他標準與產業慣例繼續使用。

因此，把 A、B、C 說成全部由 ISO 216 定義的三個現行系列並不正確。ISO 216 規範的是 A、B 裁切尺寸系列。

美國與加拿大普遍使用 Letter 紙張。ASME Y14.1 規範工程製圖用紙的尺寸與格式，但並不是用來取代一般辦公用紙慣例。

日本的 JIS P 0138 制定於 1951 年。目前的 1998 年版標示為修改採用 ISO 216:1975，而 JIS B 系列與 ISO B 系列的尺寸不同。因此需要精確尺寸時，「B5」必須同時註明標準或地區。

對未取整數的 A 系列而言，相鄰尺寸的理論縮放倍率為 √2 ≈ 141.4% 與 1/√2 ≈ 70.7%。在保持長寬比的線性縮放中，跨兩級則是 200% 或 50%。

整數公釐的標稱尺寸，其水平與垂直比例並不完全相同，因此單一百分比無法讓兩邊都精確吻合。印表機的不可列印區域、邊界、出血、裝訂預留與應用程式取整也會影響結果。

在 A4 上配置兩頁 A5，幾何上確實方便；但 √2 比例本身不能保證 PDF 手冊功能不需要邊界或拼版計算。

• 理論上的 A 系列長方形採用 √2:1 長寬比。
• 整數公釐的標準尺寸只是近似，而非精確重現理論比例與面積。
• Lichtenberg 1786 年書信記錄了幾何原理與既有紙張；DIN 476 與 ISO 216 是後來的標準化階段。
• ISO 216 規範 A、B 尺寸，而信封標準 ISO 269 已於 2009 年撤銷。
• 實務流程中必須區分 ISO B、JIS B、A4 與美規 Letter。