紙のサイズ規格 A4・B5・Letter の数学 ― √2 比とリヒテンベルク 1786 年の手紙

A4 用紙の寸法は 210 × 297 mm。これを長辺の真ん中で半分に折ると、できる長方形は 148.5 × 210 mm… ですが、A5 の規格寸法は 148 × 210 mm。 0.5 mm の差は丸めの問題で、実質ぴったりです。さらに半分にすると A6 (105 × 148 mm)、A7 (74 × 105 mm) と、いずれも「縦横の比率が同じ」のまま面積だけ半分ずつ減っていきます。

これは偶然ではなく、そうなるように設計されているのです。 ISO 216 の A 列・B 列・C 列はすべて、長辺と短辺の比が √2 : 1 (約 1.4142 : 1) の長方形で統一されています。

基準は「A0 を 1 平方メートルきっかり」と決めて、そこから半分にしていったものです。 A0 の面積は 0.841 × 1.189 ≈ 1.000 m²、 A4 は A0 の 1/16 = 0.0625 m²。 大量印刷時の用紙計算が綺麗な分数になります。

√2 比という発想は、ドイツの物理学者・著述家 ゲオルク・クリストフ・リヒテンベルク (Georg Christoph Lichtenberg, 1742-1799) が 1786 年 10 月 25 日に経済学者ヨハン・ベックマンに宛てた手紙の中で初めて文献的に記録されています (Markus Kuhn の Cambridge ページ・ISO 216 Wikipedia 共に出典)。

リヒテンベルクは「2 つの直角な辺の比が √2 になる長方形は、半分に折ったときに元と同じ比率を保つ」という性質に気づき、それを「合理的な紙のサイズの基準にすべきだ」と述べました。「リヒテンベルク比 (Lichtenberg ratio)」と呼ばれる所以です。

しかし、当時の紙は手漉き・手裁ちで作られていたため、こうした厳密な数学的提案が実用化される素地はありませんでした。実際にこのアイデアが標準規格として実装されるまで 136 年かかります。

長方形の長辺を L、短辺を W として、長辺 : 短辺 = r : 1 とします (つまり L = rW)。 これを長辺の真ん中で半分に折ると、新しい長方形の寸法は:

• 新しい長辺 = 元の短辺 = W
• 新しい短辺 = 元の長辺の半分 = L/2 = rW/2

新しい長方形の比 (長辺 / 短辺) は W ÷ (rW/2) = 2/r です。元の比 r と同じになるためには:

r = 2 / r
r² = 2
r = √2 ≈ 1.41421356...

つまり、長辺 : 短辺 = √2 : 1 の長方形だけが、半分に折っても比率を保てる唯一の比です。これは「無限に半分にしていっても、いつまでも同じ形」という美しい自己相似性 (フラクタル的性質) を持つことを意味します。

補足: 同じ性質を持つ「合理的な比率」候補として黄金比 φ ≈ 1.618 もありますが、半分に折ると比率は壊れます (φ/2 ≠ 2/φ)。黄金比は「縦半分の長方形を切り取ると残りが同じ比率」という別の自己相似性を持ちます。

リヒテンベルクの提案から 136 年後の 1922 年、ドイツの技術者 ヴァルター・ポーストマン (Walter Porstmann) が DIN (ドイツ規格協会) で DIN 476 として正式な紙サイズ規格を制定しました。これが現代 ISO 216 の直接の母体です。

ポーストマンの規格は、リヒテンベルクのアイデアに次の 2 つの実用的な決定を加えました:

• A0 = 1 平方メートル: 紙の重量計算 (1 g/m² の坪量 × 面積) と直結する基準
• A 列・B 列・C 列の 3 系統: A 列は基本、B 列は中間サイズ、C 列は封筒用

DIN 476 は急速にドイツ国内、続いて欧州全体に広がりました。1947 年にスイスとオランダが採用、1950 年代までに欧州主要国の標準となります。

1975 年、国際標準化機構 (ISO) が DIN 476 をほぼそのまま ISO 216「Writing paper and certain classes of printed matter — Trimmed sizes — A and B series」として国際標準化しました。 日本も同じ寸法体系を JIS P 0138「紙加工仕上寸法」として導入しています。

2026 年現在、 ISO 216 を採用していない主要国は 米国・カナダ・メキシコ・フィリピンなどのごく一部に限られ、世界のほぼ全域が A4 を標準ビジネスサイズとして使っています。

A・B・C 列の使い分け

3 系統はそれぞれ別の数学的基準で導出されています:

• A 列: A0 = 1 m² から半分ずつ。基本のビジネス・出版サイズ
• B 列: 「A 列の隣り合う 2 サイズの幾何平均」(例: B4 は A4 と A3 の中間)。 A 列だけだと面積比 1:2 で飛び飛びすぎるので、中間サイズとして導入
• C 列: 「A 列と B 列の幾何平均」。A 列の用紙をぴったり封入できる封筒サイズ。 A4 文書 → C4 封筒、 A5 → C5、 三つ折り A4 → DL 封筒

具体的な寸法 (mm):

注意: 日本国内には JIS B 列 (例: B5 = 182 × 257 mm) という独自の「JIS B 列」がもう一つ存在し、 ISO の B 列とは異なります。 JIS B 列は明治期に和紙の寸法から導かれた歴史的経緯があり、 学校教科書や雑誌で広く使われています。「B5 ノート」は日本では JIS B5 (182×257) を指すことが多く、 ISO B5 (176×250) ではありません。

米国の標準紙サイズ Letter (8.5 × 11 インチ = 215.9 × 279.4 mm) は ISO 216 のいかなるサイズとも一致しません。比率も 11 / 8.5 ≈ 1.294 で √2 (≈ 1.414) ではありません。

レターサイズの起源は、19 世紀末から 20 世紀初頭の米国製紙業界の慣習サイズです。当時の紙漉き機の幅・印刷機の対応・タイプライターの規格などが複合的に絡んで「8.5 × 11 が便利」という商慣行として定着しました。 1980 年に米国国立規格協会 (ANSI) が ANSI/ASME Y14.1 として正式に標準化しましたが、その時点で既に米国産業に深く根付いていたため、 ISO 216 への切替コストが大きすぎて見送られました。

その結果、現在も世界の 2 大紙規格 (ISO 216 と ANSI/US Letter) が共存し、米国宛て書類の印刷時にレイアウトが崩れる、PDF 表示でページがぼやけるなどの実用問題を生み続けています。

補足: 米国にも ANSI A (8.5×11) から D, E まで A 列に似た展開はありますが、これは「半分にしても比率を保つ」性質を持ちません。 ANSI 系列は「同じ系列内で寸法を倍々にする」という規則は持つものの、長辺・短辺の比率が交互に変わってしまうのが特徴です。

√2 比という設計が生む最大の実用メリットは、拡大縮小コピーの倍率が綺麗な分数になることです。

日本・欧州の業務用コピー機の倍率ボタンに 「141%」「71%」という一見奇妙な数字が並んでいるのは、これらが √2 と 1/√2 の小数表現だからです。米国レターサイズ機の倍率ボタンには「141%」のような数字は出てきません (代わりに「129%」など、寸法比の独自の値が並びます)。

もう一つの実用メリット: 2 枚の A4 文書を A3 に並べて 1 ページ印刷すると、紙の使用量は同じで、追加の余白計算が不要です。 4 枚の A5 を A3 に並べることもできます。これは PDF の小冊子モード (booklet) の前提でもあります。

• 1786 年 10 月 25 日: リヒテンベルクが手紙で √2 比による紙サイズを提案
• 1922 年: ヴァルター・ポーストマンが DIN 476 として正式規格化、 A0 = 1 m² の決定を追加
• 1975 年: ISO 216 として国際標準入り、 A 列・B 列・C 列の 3 系統
• √2 ≈ 1.414: 「半分に折っても同じ比率を保つ」唯一の長方形比 (数学的に証明可能)
• A 列・B 列・C 列: 基本・中間・封筒の用途別。 C 列は A 列がぴったり封入できるよう設計
• JIS B 列: 日本独自の B 列で ISO B 列とは別。 B5 ノートは JIS B5 (182×257)
• 米国レター (8.5 × 11 inch): ISO 216 と比率が違う、 19 世紀の慣習サイズ
• 拡大縮小 141%/71%: コピー機ボタンの謎の数字は √2 と 1/√2

普段何気なく使う A4 用紙には、「同じ比率のまま無限に半分にできる」という美しい数学が組み込まれています。 240 年前のリヒテンベルクの「合理的な紙のサイズを定めるべきだ」という提案が、現代世界の事務処理・出版・印刷を静かに支えていると考えると、書類を 1 枚手に取るときの感覚も少し変わるかもしれません。