音程のセントと平均律・純正律 — 1200 log₂で見る音の数学

アレクサンダー・J・エリスは、19世紀の各国音階の比較研究でセント尺度を提示し、使用しました。2つの周波数 f₁ と f₂ の音程は次の式で求めます。

cents = 1200 × log₂(f₂ / f₁)

• 周波数比2:1のオクターブは1,200セント
• 12平均律の半音は100セント
• 1セントの周波数比は 2^(1/1200) ≈ 1.0005778

対数尺度なので、同じセント数は周波数帯域にかかわらず同じ周波数比・音程を表します。ただし、同じ差をどれほど聞き取りやすいかは、音域や音色などで変わります。

現代の多くのピアノ、フレット付きギター、電子チューナーは12平均律を基準にします。1オクターブを12個の等しい周波数比へ分ける方式です。

半音の周波数比 = 2^(1/12) ≈ 1.059463

ISO 16が定めるA4=440Hzを基準にすると、主な音の周波数は次のとおりです。

どの調でも同じ音程配置を使えるのが利点です。一方、オクターブ以外の多くの音程は、単純な整数比からわずかにずれます。

純正律は3:2、4:3、5:4などの単純な整数比から音程を組み立てます。

持続する和音が単独で鳴る場面では、長3度などの差が聞き取れる場合があります。歌声や音程を連続的に調整できる楽器は、整数比へ寄せることでうなりを減らせます。

特定の調を基準に作った純正比は、遠い調へ移ると同じ固定音高のまま全ての比を保てません。鍵盤やフレット付き楽器には、どの調でも使える妥協が必要です。

平均律は全ての半音を同じ比率にします。平均律以前のウェル・テンペラメントも多くの調で演奏できましたが、調ごとに音程の性格が異なりました。バッハの『平均律クラヴィーア曲集』だけを、現在の数学的な12平均律を採用した証拠とみなすことはできません。

弁別できる差は、周波数、音量、持続時間、音色、音楽的文脈、訓練、測定方法で変わります。研究では、訓練を受けた音楽家が非音楽家より小さな周波数差を識別した例がありますが、全員に当てはまる固定の「可聴セント値」はありません。

そのため、チューナーの数値は音楽的な良否を決める絶対判定ではありません。持続するユニゾンでは小さなずれが目立ちやすく、複雑なミックス中の短い音では同じ差が分かりにくいことがあります。

• 録音した音高と基準音を比較する
• 重ねたトラックを数セントずらして広がりを作る
• 平均律と純正音程の差を測る
• 22平均律や31平均律などの微分音音階を設計する
• オクターブに依存しない形でピッチベンドや調律差を記述する

NanTooのコード進行プレイヤーでは、ブラウザ上でコード進行を再生し、移調できます。

• cents = 1200 × log₂(f₂/f₁)
• 1オクターブは1,200セント、12平均律の半音は100セント
• 平均律は全ての調で使える一貫した妥協
• 純正律は単純な整数比を使い、持続和音のうなりを減らせる
• 聞き分けやすさは聴取者、音、文脈、測定条件に依存する