3d6 與 4d6 捨棄最低骰：D&D 能力值概率、調整值與總和分布

D&D 的能力值可以透過擲骰或固定數值產生；介紹舊版歷史時，不能把其中的方法當成所有版本都適用的規則。第一版 AD&D 的 Dungeon Masters Guide 是 1979 年出版的書，因此以「1978 年 DMG」解釋其能力值產生方法，年份並不正確。本文不推斷跨版本的標準化過程或設計者的動機，而以可查證的 2014 年版及 2024 年版規則作比較。

2014 年版 Basic Rules 提供擲 4d6、取最高三粒總和的方法，以及標準數列；購點法則是由地下城主（DM）決定是否採用的變體規則。2024 年版角色建立流程及 SRD 5.2.1 列出標準數列、隨機產生和購點三種方法，遊戲主持人（GM）可以指定其中一種。並非每個遊戲團都必須擲 4d6。

下文統計不計入 2014 年版的種族加成或 2024 年版的背景加成。3d6 在這裏是用作比較的概率模型；採用第五版（5e）的調整值公式，不代表所有舊版也使用同一公式。

把每粒骰仔分開識別，3d6 有 6³ = 216 種有序結果，4d6 有 6⁴ = 1,296 種。每種結果等可能，建基於每一面的概率均為 1/6，而且各粒骰仔互相獨立。即使有多粒同為最低點數，也只捨棄其中一粒。

function dist4d6drop() {
  const counts = Array(19).fill(0);
  for (let a = 1; a <= 6; a++)
    for (let b = 1; b <= 6; b++)
      for (let c = 1; c <= 6; c++)
        for (let d = 1; d <= 6; d++) {
          const dice = [a, b, c, d].sort((x, y) => x - y);
          counts[dice[1] + dice[2] + dice[3]]++;
        }
  return counts;
}
const counts = dist4d6drop();
const mean = counts.reduce((sum, count, score) => sum + count * score, 0) / 1296;
console.log(mean); // 12.244598765432098

這段程式碼使用的是完整枚舉。只對點數總和作一般卷積，並不能實現「捨棄最低一粒」的操作。先算出單項能力值的分布，再用卷積合併六次獨立產生的能力值，才會得到六項總和的分布。組合數是精確計數；文中的小數經過四捨五入，並非隨機抽樣的估計。

平均值增加約 1.744599。3d6 的分布對稱，但 4d6 捨棄最低骰是左偏分布，低分一側的尾部較長。標準差接近，並不表示兩者形狀相同。4d6 得到 13 的結果有 172 種，得到 14 的有 160 種，所以眾數只有 13。

要得到 18，至少要有三粒擲出 6。恰好三粒為 6 的有序結果有 20 種，四粒全為 6 另有 1 種，合共 21 種，概率正好是 3d6 的 3.5 倍。若在同一組三粒骰仔上加入第四粒，最高三粒的總和不會低於原本三粒的總和。這說明分布為何較有利於高分，卻不保證兩位玩家各自擲骰時，使用 4d6 的玩家必定勝過使用 3d6 的玩家。

單項能力值至少為 13 的概率，3d6 是 56/216，4d6 捨棄最低骰是 632/1296。以相同方法獨立產生六項能力值，全部符合條件的概率就是單次概率的六次方。

4d6 捨棄最低骰的概率約為 3d6 的 44.3 倍。3d6 約每 3,293 組有 1 組符合條件，4d6 捨棄最低骰則約每 74 組有 1 組；這不表示產生 74 組便一定會出現 1 組。若五位玩家各以 4d6 捨棄最低骰產生一組，至少一人符合條件的概率為 1 − (1 − 0.013448457…)⁵ ≈ 6.55%。不能因此保證玩幾個戰役就會遇到。若加入「不合條件便重擲」的規則，原來的概率模型便不再適用。

5e 的能力調整值公式是 floor((能力值 − 10) / 2)。floor 向下取整，對負數也一樣：能力值 3、9、13、18 的調整值分別為 −4、−1、+1、+4。要計算期望值，應把每個調整值乘以其概率，再將結果相加，而不是把平均能力值直接代入公式。

這些數字是大量組合的平均；實際一組能力調整值的總和必定是整數。角色不會在每次檢定都加上 +5.24。檢定用的是相關能力的調整值，實際效果還受職業、能力值分配、技能及熟練等因素影響。不能把這個總和當成熟練加值，也不能直接與另一位角色的整體貢獻比較。

標準數列（standard array）是 15、14、13、12、10、8，總和為 72；未加入額外加成時，調整值總和是 +5。購點法的能力值範圍為 8 至 15，各值所需點數如下。

把六項能力值的有序配置完整列出，限定用盡全部 27 點，共有 12,282 種。能力值總和由 69 至 75，調整值總和由 +3 至 +7。例如，15/15/15/8/8/8 的總和為 69、調整值總和為 +3；13/13/13/12/12/12 的總和為 75、調整值總和為 +6；14/12/12/12/12/12 的總和為 74、調整值總和為 +7。

購點是玩家作出的選擇，並沒有預設的隨機分布。若未定義玩家如何選擇的概率模型，便不能說「平均總和是 72～73」。標準數列的 +5 調整值總和在數值上接近 4d6 的期望值，但不足以證明設計者以此為目標。固定數值能避免擲骰造成的差異，相同總和卻仍不等於相同戰力。

以 S 代表六次獨立使用 4d6 捨棄最低骰所得的能力值總和，最小是 6 × 3 = 18，最大是 6 × 18 = 108。本文用累積概率 P(S ≤ x)表示「總和不高於 x 的比例」。在離散分布中，是否計入同分結果會改變百分比，因此必須先清楚定義。

平均總和約為 73.468，中位數則為 74，即累積概率首次超過 50% 的數值。總和超過 90 的概率約為 0.481%，與總和不高於 90 的比例不同。若規定總和為 60 或以下便要重擲，約 3.452% 的初次結果會受影響，但重擲後的分布已不同於上表。

計算總和分布時，要合併六份單項能力值的整數計數分布：先取一份，再與同樣的分布進行五次兩兩卷積，最後除以總結果數 1296⁶。這個總數超出 JavaScript 的安全整數範圍，所以精確計數需使用 BigInt 或等效方法，最後才轉換成小數概率。

NanToo 的日文骰仔概率計算工具可在其支援範圍內處理 NdS+M，例如 3d6 或 3d8+5，但不直接支援 4d6 捨棄最低骰。這項操作可用本文程式碼與計數資料核對。若想進一步了解隨機數產生器及其限制，可閱讀已發佈的 Mersenne Twister 原理解說。概率比較與選擇團員喜歡的遊戲方式，應分開考慮。

本文撮要及翻譯 SRD 的能力值產生規則，並加入原創概率計算與說明。以下保留授權要求的英文聲明。

This work includes material from the System Reference Document 5.2.1 (“SRD 5.2.1”) by Wizards of the Coast LLC, available at https://www.dndbeyond.com/srd. The SRD 5.2.1 is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, available at https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode.