3d6 與 4d6 去掉最低骰：D&D 能力值機率、調整值與總和分布

D&D 可以透過擲骰或固定數值產生能力值，但舊版歷史與現行規則應分開看待。第一版 AD&D 的 Dungeon Masters Guide 出版於 1979 年，因此以「1978 年的 DMG」說明其中的能力值產生方法，年份並不吻合。本文不推測跨版本的標準化歷程或設計者的動機，而以可查證的 2014 年版與 2024 年版規則作為比較基準。

2014 年版 Basic Rules 提供擲 4d6、加總最高三顆的方式與標準數列；購點法則是由地下城主（DM）決定是否採用的變體規則。2024 年版角色建立流程與 SRD 5.2.1 列出標準數列、隨機產生與購點三種方式，遊戲主持人（GM）可能指定其中一種。這不表示每個團都必須使用 4d6。

以下統計不包含 2014 年版的種族加成或 2024 年版的背景加成。3d6 是比較用的機率模型；把第五版（5e）的能力調整值公式套用到這個模型，不代表所有舊版都使用同一公式。

若將每顆骰子視為可區別，3d6 有 6³ = 216 種有序結果，4d6 則有 6⁴ = 1,296 種。每種結果等可能的前提，是各面機率均為 1/6，且骰子彼此獨立。即使最低點數出現多次，也只去掉其中一顆。

function dist4d6drop() {
  const counts = Array(19).fill(0);
  for (let a = 1; a <= 6; a++)
    for (let b = 1; b <= 6; b++)
      for (let c = 1; c <= 6; c++)
        for (let d = 1; d <= 6; d++) {
          const dice = [a, b, c, d].sort((x, y) => x - y);
          counts[dice[1] + dice[2] + dice[3]]++;
        }
  return counts;
}
const counts = dist4d6drop();
const mean = counts.reduce((sum, count, score) => sum + count * score, 0) / 1296;
console.log(mean); // 12.244598765432098

這段程式碼執行的是完整枚舉。一般的點數加總摺積，無法單獨表達「去掉最低一顆」的操作。先取得單項能力值的分布後，才用摺積合併六次獨立產生的能力值，得到總和分布。組合數是精確的；本文的小數則經過四捨五入，並非抽樣模擬的估計值。

平均值相差約 1.744599。3d6 的分布對稱，4d6 去掉最低骰則是低分端尾巴較長的左偏分布。標準差相近，不代表形狀相同。4d6 得到 13 的結果有 172 種，得到 14 的有 160 種，因此唯一的眾數是 13。

得到 18 必須至少有三顆骰出 6。恰好三顆為 6 的有序結果有 20 種，四顆都是 6 則有 1 種，共 21 種；其機率恰好是 3d6 的 3.5 倍。此外，在相同的前三顆骰子上加入第四顆，最高三顆的總和不可能比原本三顆的總和更低。這解釋了分布為何偏向較高數值，但不保證兩位玩家分別擲骰時，使用 4d6 的玩家一定比較高。

單次得到至少 13 的機率，3d6 為 56/216，4d6 去掉最低骰為 632/1296。以同一方式獨立重複六次，六項全部符合條件的機率就是上述數值的六次方。

4d6 去掉最低骰的機率約為 3d6 的 44.3 倍。換算後，3d6 約每 3,293 組中有 1 組符合條件，4d6 去掉最低骰則約每 74 組中有 1 組。但產生 74 組並不保證一定出現 1 組。若五位玩家各以 4d6 去掉最低骰產生一組，至少一人符合條件的機率為 1 − (1 − 0.013448457…)⁵ ≈ 6.55%，不能解讀為跑幾個戰役就必定遇到。若規定一直重擲直到符合條件，機率模型也會改變。

5e 的能力調整值為 floor((能力值 − 10) / 2)。floor 表示向下取整，負數也一樣：能力值 3、9、13、18 分別對應 −4、−1、+1、+4。計算期望值時，應以每個能力調整值及其機率加權相加，不能直接把平均能力值代入公式。

這是大量能力值組合的平均；實際的調整值總和必定是整數。角色不會在每次檢定都加上 +5.24。檢定使用對應能力的調整值，實際效果還受到職業、數值分配、技能與熟練等因素影響。因此，不能把調整值總和直接當成熟練加值，或拿來衡量另一位角色的整體貢獻。

標準數列（standard array）為 15、14、13、12、10、8，總和 72；額外加成前的能力調整值總和為 +5。購點法使用下表中 8 至 15 的點數成本。

完整枚舉六項能力值的有序配置，若恰好用完 27 點，共有 12,282 種。能力值總和介於 69～75，調整值總和介於 +3～+7。例如，15/15/15/8/8/8 的總和為 69、調整值總和為 +3；13/13/13/12/12/12 的總和為 75、調整值總和為 +6；14/12/12/12/12/12 的總和為 74、調整值總和為 +7。

購點是玩家的選擇，不是自帶機率分布的隨機過程。沒有玩家選擇方式的機率模型，就無法斷言「平均總和是 72～73」。標準數列的調整值總和 +5，數值上接近 4d6 的期望值，但這不能證明設計者是以該期望值為目標。固定數值方式可避免擲骰造成的變異，不過相同總和仍不保證相同戰力。

令 S 為六次獨立使用 4d6 去掉最低骰所得能力值的總和，最小為 6 × 3 = 18，最大為 6 × 18 = 108。本文以累積機率 P(S ≤ x)表示「總和小於或等於 x 的比例」。離散分布是否包含同分結果，會影響百分等級，因此必須先說明定義。

總和的平均約為 73.468，中位數則為 74，也就是累積機率首次超過 50% 的數值。超過 90 的機率約 0.481%，與小於或等於 90 的比例是不同的量。若自訂規則要求總和 60 以下必須重擲，約 3.452% 的初始組合會受到影響，但重擲後的分布就不再是上表。

計算總和分布時，合併六份單項能力值的整數計數分布：從一份開始，再與同樣的分布做五次兩兩摺積，最後除以總結果數 1296⁶。總結果數超過 JavaScript 的安全整數範圍，因此精確計數應使用 BigInt 或等效方法，最後才轉成小數機率。

NanToo 的日文骰子機率計算工具可在其支援範圍內處理 NdS+M，例如 3d6 與 3d8+5，但無法直接處理去掉最低骰的 4d6。這項操作請使用本文的程式碼與計數資料。若想了解亂數產生器及其限制，可參考已發布的 Mersenne Twister 原理解說。比較機率，與決定團員喜歡哪種遊戲方式，是兩件不同的事。

本文摘要並翻譯 SRD 中的能力值產生規則，另加入原創機率計算與說明。以下保留授權所要求的英文標示。

This work includes material from the System Reference Document 5.2.1 (“SRD 5.2.1”) by Wizards of the Coast LLC, available at https://www.dndbeyond.com/srd. The SRD 5.2.1 is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, available at https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode.