GPS の仕組み — NAVSTAR・準天頂衛星みちびき・1 日 38 μs ずれる相対性理論補正

米国国防総省 (DoD) が運用する NAVSTAR GPS は、地球を取り囲む形で最低 24 機 (運用中は 31 機程度) の衛星が配置されています。

• 軌道高度: 約 20,200 km (中軌道、MEO)
• 軌道周期: 約 11 時間 58 分 (1 日に 2 周)
• 軌道面: 6 つ、それぞれ赤道に対して 55° 傾斜
• 各面に 4 機以上 = 地球上のどこからでも常に 4 機以上が見える

1973 年に開発開始、1995 年に完全運用 (FOC, Full Operational Capability) 宣言。当初は軍事専用でしたが、1983 年の大韓航空機撃墜事件 (KAL 007) を機に Reagan 政権が民生開放を表明、2000 年に高精度モードの "Selective Availability" が解除されて現在の数 m 級民生精度が実現しました。

GPS の基本原理は三辺測量です。各衛星から「自分の位置」と「現在時刻」を含む電波が常に発信されており、受信機は電波が届くまでの時間から距離を逆算します。

距離 = 光速 × (受信時刻 - 発信時刻)
     ≈ 3 × 10⁸ m/s × Δt

3 個の衛星からの距離があれば、3 つの球の交点として 3 次元位置が決まる… のですが、実際には受信機側の時計の誤差が問題になります。クォーツ時計だと数 ms ずれるので、距離換算で数百 km の誤差。この時計誤差を未知数として解くため、4 機目の衛星が必要です。

4 つの方程式 (3 つの距離 + 1 つの時計誤差) を 4 つの未知数 (x, y, z, Δt) について連立で解く — これが GPS 受信機内で毎秒行われている計算の本質です。

つまり「GPS は時計のシステム」と言えるほど、時刻精度がすべてを支配します。1 ナノ秒 (10⁻⁹ s) のずれ = 距離 30 cm の誤差。だから次の章の話になります。

各 GPS 衛星にはセシウム 133 (Cs-133) 原子時計が複数搭載されています (冗長化のためルビジウム時計も)。これは「秒の定義」そのものに使われている時計と同種で、精度は 10⁻¹³ 〜 10⁻¹⁴ オーダー (1 日に数ナノ秒以下)。

1967 年の国際度量衡総会 (CGPM) で「秒」の定義はセシウム 133 原子の特定遷移の 9,192,631,770 周期に変更されており、GPS 衛星もこの定義に従って時を刻みます。

ここで重要なのは、地上の時刻 (UTC) と GPS 時 (GPST) は同じ "SI 秒" を使うが、両者にはずれがあること。GPS 時は 1980 年 1 月 6 日 00:00 UTC で同期され、それ以降うるう秒を反映していないため、現在 (2017 年挿入後) GPST - UTC = +18 秒。

この整数秒のずれは衛星から放送されるナビゲーションメッセージに含まれており、受信機は自動で UTC に変換します。本サイトの うるう秒の終わり 記事と関連します。

GPS が運用される際に最も話題になる「相対性理論補正」。Neil Ashby が 2003 年に Living Reviews in Relativity に発表した "Relativity in the Global Positioning System" が決定版的な解説論文です。

2 つの相対性効果が同時に発生し、互いに反対方向に作用します。

• 特殊相対性: 衛星は秒速約 3.87 km で運動 → 動いている時計は遅く進む → 1 日約 -7.2 μs
• 一般相対性: 衛星は地球から離れた重力ポテンシャルが弱い場所 → 重力が弱いほど時計は速く進む → 1 日約 +45.9 μs

正味のずれ = -7.2 + 45.9 = +38.7 μs/日

無補正の場合、距離換算で
位置誤差 = c × 38.7 μs ≈ 11.6 km/日 のずれが累積

この補正がなければ 1 日で位置が 12 km ずれる — 国道 1 本分ほどの誤差です。

具体的には衛星に積む原子時計の周波数を地上で 4.45 × 10⁻¹⁰ だけ低く設定(1 ナノ秒の周波数を意図的にずらす)。打ち上げ後、軌道上で観測される周波数は地上での標準値とちょうど一致するように調整済 — これは出荷時校正で行われています。

歴史的には 1977 年の最初の GPS 衛星打ち上げ時、「相対性は実用に影響しない派」と「補正必須派」で論争があり、最終的に補正なしで打ち上げた後に予測通りずれることを確認してから補正を有効化したという逸話が Ashby 論文に記されています。GPS は相対性理論を毎日 24 時間検証している装置でもあります。

現在、世界には GPS と並列で 4 つの全地球航法衛星システム (GNSS) が運用中です。

現代のスマートフォンの GPS チップはマルチ GNSS 対応で、4 システムから合計 60+ 機の衛星を見ます。建物の谷間など空が見えにくい場所でも測位できる確率が大幅に上がる仕組みです。これに加えて日本独自の補強システムである QZSS (みちびき) もあります。

日本独自の準天頂衛星システム (Quasi-Zenith Satellite System, QZSS)、通称 "みちびき" は内閣府宇宙開発戦略推進事務局が運用するアジア・オセアニア地域向け補強システム。

• 運用機数: 4 機 (2018 年〜)、2024 年に 7 機体制を計画 (政府目標)
• 軌道: 「準天頂軌道 (QZO)」 — 地表から見て 8 の字 (アシンメトリック・ムスタッシュ) を描く
• 軌道高度: 約 32,000-40,000 km (傾斜地球同期軌道、IGSO)
• 運用主体: 内閣府 (技術運用は JAXA / 三菱電機)

「準天頂」とは、ある時間帯に日本のほぼ真上 (天頂付近、仰角 70° 以上) を通過するよう軌道設計されていること。各衛星が約 8 時間ずつ準天頂を通過し、4 機で 24 時間カバー。GPS が低仰角しか見えない都市部の谷間でも、みちびきは真上に見えるためビルの陰に強いのが利点です。

みちびきの主要サービス:

CLAS (Centimeter Level Augmentation Service) は世界的にもユニークなサービスで、衛星から放送される補強情報を使い静止測位で 6 cm、動的測位で 12 cm の精度を実現。トヨタ・ホンダの自動運転車、コマツの建設機械が既に商用利用しています。

GPS 衛星から放送される電波は複数の周波数があり、用途で使い分けられています。

• L1 (1575.42 MHz): 民生用 C/A コードと軍用 P(Y) コード。スマートフォンが受信
• L2 (1227.60 MHz): 軍用 P(Y) コード + 民生用 L2C (新世代)
• L5 (1176.45 MHz): 民生用、航空・救命用に最適化、より高精度

2 周波数受信機 (L1 + L5 など) は電離層伝播遅延を補正でき、誤差が大幅に減ります。iPhone 14 Pro 以降や Pixel 7 以降は L1+L5 デュアル周波数対応で、シングル周波数より市街地での精度が 2-3 倍向上しています。

GPS が出力する緯度経度は WGS84 (World Geodetic System 1984) 座標系。地球を回転楕円体でモデル化したもので、米国国防総省が定義。

• 赤道半径 a: 6,378,137 m (整数)
• 扁平率 1/f: 298.257223563 (1/298 ぐらい扁平)

日本の地理院地図が使う JGD2011 (日本測地系 2011) も WGS84 に準拠 (1 cm レベルでほぼ一致)。古い地図 (Tokyo Datum など) と GPS 座標が 水平方向で 400-500 m ずれて見えるのは、座標系が違うため。古地図と現在地を重ね合わせるアプリでは適切な変換が必要です。

素の GPS の民生精度は 水平 ±5-10 m。これを向上させる技術があります。

• DGPS: 位置が既知の基準局との差分を使う (海上保安庁の MSAS など、±1 m)
• RTK (Real-Time Kinematic): 搬送波位相を使う高精度測位 (cm 級、測量用)
• PPP (Precise Point Positioning): 衛星時計・軌道情報を補正 (cm 級)
• QZSS CLAS: みちびきの cm 級補強

主な誤差要因:

• 電離層伝播遅延 (~10 m、デュアル周波数で補正可能)
• 対流圏遅延 (~1-2 m)
• マルチパス (建物の反射、~1 m)
• 受信機ノイズ (~0.5 m)

「GPS で位置がバレる」と言うが、技術的には:

• GPS 受信は受動的 (リスナー) — スマホは衛星から電波を受信するだけで、何も発信しない
• つまり「GPS そのものでは追跡できない」 — 衛星側からスマホの位置はわからない
• 追跡が可能になるのは、スマホが受信した位置情報をアプリ経由で外部サーバに送信したとき

アプリ A が位置情報を Google サーバに送れば追跡されるが、それは「アプリの選択」の問題で「GPS の特性」ではない。GPS そのものは盗聴も追跡もされません。

ただしEXIF GPS タグのように、位置情報が画像メタデータに自動埋め込まれることはあります (本サイトの EXIF GPS とプライバシー 記事参照)。

• GPS は最低 24 機の衛星 (高度 20,200 km, 6 軌道面) からなる三辺測量システム
• 位置決定は 4 機以上で 4 元方程式 (x, y, z, Δt) を解く
• 各衛星にセシウム 133 原子時計 (10⁻¹³〜⁻¹⁴ 精度)
• 相対性理論補正: 特殊 -7.2 μs/日 + 一般 +45.9 μs/日 = +38.7 μs/日
• 無補正だと 1 日 12 km ずれる — Einstein は GPS で毎日検証されている
• GLONASS / Galileo / BeiDou と合わせてマルチ GNSS でカバレッジ向上
• 日本の QZSS みちびき: 準天頂軌道 + CLAS で 6 cm 級補強
• L1+L5 デュアル周波数で市街地精度 2-3 倍
• GPS 受信は受動的 — それ自体では追跡されない