十二平均律與純律：為何鋼琴的 C 大三和弦略有偏差？

以 A4 = 440 Hz 計算，十二平均律 C4 約為 261.63 Hz。若以未經捨入的 C4 值為基準，五限純律的大三和弦採用 1:5/4:3/2 的比值：

C4 ≈ 261.63 Hz
E4 ≈ 327.03 Hz
G4 ≈ 392.44 Hz

C : E : G = 4 : 5 : 6

此時低次分音會重合：C 的第 5 分音與 E 的第 4 分音對齊，C 的第 3 分音與 G 的第 2 分音對齊。但並非所有分音都會重合，而且真實鋼琴弦會因剛性而具有非諧和性。

十二平均律把一個八度分成十二個相同的頻率比，每個半音比值為 2^(1/12)。以 A4 = 440 Hz 計算：

兩個比值 r1 與 r2 的音分差是 1200 × log2(r1/r2)。聽者是否察覺差異，會受到頻率、音色、持續時間、音量、音樂情境與訓練程度影響。此表是 A4 = 440 Hz 的理論模型，並不是說每一台真實鋼琴的琴鍵都恰好具有這些頻率。

十二平均律大三度中，E4 的第 4 分音約為：

329.63 × 4 = 1318.52 Hz

C4 的第 5 分音約為 1308.15 Hz；以未經四捨五入的頻率值計算，兩個成分相差約 10.38 Hz。它們的交互作用，是聽覺上區分十二平均律與純正大三度的其中一項物理因素。

在五度中，十二平均律 G4 的第 2 分音與 C4 的第 3 分音相差約 0.89 Hz。實際感知仍會受到分音強度、衰減、樂器非諧和性與聆聽條件影響。

一種具代表性的五限純律 C 大調音階，能讓不只一個局部三和弦保持純正；例如其中的 G–B–D 也可形成 4:5:6 三和弦。困難出現在一組固定的十二個音高必須支援所有調與轉調時。

十二個純正 3:2 五度並不等於七個八度：

(3/2)^12 / 2^7 ≈ 1.013643
1200 × log2((3/2)^12 / 2^7) ≈ 23.46 音分

這個差值稱為畢達哥拉斯音差。比值 81/80、約 21.51 音分的共振音差（syntonic comma），是畢達哥拉斯大三度與純正 5:4 大三度之間的音差。這些不一致說明，固定的十二音鍵盤無法同時讓每個五度與每個大三度都保持純正。

十二平均律把折衷均勻分配：每個五度比純正五度窄約 1.96 音分，每個大三度則寬約 13.69 音分，同時讓移調後的音程模式保持不變。

朱載堉在 1584 年的《律學新說》中記述了精確度很高的平均律計算。研究也記載 16 世紀末至 17 世紀初歐洲的相關計算。算出理論、應用於樂器，以及廣泛採用，是三個不同的歷史問題。

十二平均律在 19 世紀及之後逐漸普及，但不能替所有地區與樂器指定一個共同日期。良律與平均律是不同概念；《平均律鍵盤曲集》的書名不能證明 Bach 要求使用現代十二平均律。

鋼琴在演奏中使用固定音高，但也能調成歷史律制。現代鋼琴調律通常以十二平均律關係為目標，同時為配合琴弦非諧和性，把高音向上、低音向下延伸。

• 無琴格弦樂器：演奏者可依旋律、和聲與合奏情況連續調整音高。
• 人聲與合唱：歌手可能把和弦調向簡單比值，但旋律走向與伴奏也會影響結果。
• 管樂器：嘴型、氣流、指法與調音裝置可依樂器特性調整音高。
• 吉他：琴格形成近似十二平均律的配置，而按弦力道與樂器設定也會產生較小偏差。

因此，只用「十二平均律」與「純律」兩個標籤，無法完整說明演奏中的音準。

「溫暖」「純淨」「混濁」「缺乏生氣」等詞表達的是評價，而不是普遍成立的聲學事實。可量度的音程差異，應與聽者偏好分開討論。

歷史知情演奏（historically informed performance，HIP）會利用留存的樂譜、論著、樂器與其他證據，研究歷史上的技巧、音高與律制。它不只是「使用古樂器演奏」的同義詞；歷史考證所得的技巧也能應用在現代樂器上。

採用中全音律或不等良律的大鍵琴和弦，可能與十二平均律有明顯不同的聽感。兩者都不是在所有情況下唯一「正確」的選擇；每種律制各自優化不同的音樂可能性。

• 理論十二平均律的 C–E 大三度，比 5:4 大三度寬約 13.69 音分。
• 十二平均律的 C–G 五度，比 3:2 五度窄約 1.96 音分。
• 相近分音之間的拍頻，是造成可聽差異的其中一項因素。
• 畢達哥拉斯音差與共振音差，使固定十二音無法把所有相關音程都調成純正。
• 真實鋼琴的延伸調律、可變音高演奏與歷史律制，還會帶來更多情境差異。