音分、十二平均律與純律：音程的數學原理

Alexander J. Ellis 在十九世紀比較各地音階的研究中提出並使用音分尺度。對兩個頻率 f₁ 與 f₂ 而言，音程為：

音分 = 1200 × log₂(f₂ / f₁)

• 頻率比為 2:1 的八度等於 1,200 音分。
• 平均律半音等於 100 音分。
• 一音分的頻率比為 2^(1/1200) ≈ 1.0005778。

由於這個尺度採用對數，同樣的音分數在任何頻率上都代表相同的音程，即使兩者相差的絕對赫茲數會改變。

大多數現代鋼琴、有琴格的吉他與電子調音器都採用十二平均律。它把八度分成十二個相等的頻率比：

半音頻率比 = 2^(1/12) ≈ 1.059463

依 ISO 16 所規定的 A4 = 440 Hz，部分音符如下：

它的優點是一致：每個調都具有相同的音程排列。代價是除了少數音程外，多數音程都會略微偏離簡單整數的頻率比。

純律以 3:2、4:3、5:4 等簡單頻率比建立音程。

大三度的差異足以在清楚突出的和聲中被聽見。歌手與音高可彈性調整的樂器能往簡單比值靠攏，減少拍頻，讓和弦聽起來更安定。

一組純律比值通常只適合特定的調性中心。轉到較遠的調之後，同一組固定音高無法繼續維持所有比值。因此，鍵盤與有琴格的樂器需要一種能在每個調使用的折衷方案。

平均律讓每個半音完全相同，並把純正的 3:2 五度稍微縮窄。更早期的良律（well temperament）也能演奏多個調，卻會保留不同調性的音程色彩；巴赫的《平均律鍵盤曲集》不應被視為他採用今日這種將八度等比劃分的十二平均律之證據。

音高辨別能力會受到頻率、音量、持續時間、音色、音樂情境、訓練程度與測試方法影響。在控制條件下進行的研究發現，受過訓練的音樂家通常比非音樂家具有較低的頻率辨別閾限，但不存在一個適用於所有聽者與聲音的固定音分數。

因此，調音器讀值不是判定音樂品質的絕對標準。持續的同度音比複雜混音中的短音更容易暴露微小偏差，演奏者也可能有意把音程調離平均律。

• 比較錄音音高與調音基準。
• 將疊錄音軌的音高錯開數個音分，增加聲音寬度。
• 測量平均律音程與純律音程之間的差異。
• 設計二十二等分律、三十一等分律等微分音音階。
• 以不受八度位置影響的方式描述滑音與調音偏移。

NanToo 的和弦進行播放器可讓你直接在瀏覽器中聆聽和弦進行並進行移調。

• 音分 = 1200 × log₂(f₂/f₁)。
• 一個八度是 1,200 音分；平均律半音是 100 音分。
• 平均律透過一致的折衷方式支援所有調。
• 純律使用簡單比值，可產生更純淨的持續和聲。
• 能否聽出差異，取決於聽者、聲音與音樂情境。