ガチャ確率の数学 — 「3%を33連で当たる確率」は63%しかない理由と天井の意味

ガチャを 1 回引いて当たる確率を p、 n 回引くとき、 「1 回以上当たる確率」 は次の式で計算できます。

P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ

導出は単純です。 「1 回も当たらない確率」 は 1 回あたり (1−p) が n 回続くので (1−p)ⁿ。 その余事象が「1 回以上当たる確率」 なので 1 から引きます。

この公式の前提は、 各回が 独立な確率 p のベルヌーイ試行であることです。 実際の抽選がこの前提を満たすかはゲームごとの仕様次第です。 確率上昇、 すり抜け、 交換ポイント、 天井の持ち越し・リセット等があれば別モデルになります。

数値の感覚を掴む

排出率 3% のガチャを 33 連 (= 期待値 1/p = 33.33 回) 引くと、 各値は次のようになります。

「期待値通り 1 個」 になるのは 37%、 「0 個 or 2+ 個」 の人の合計が 63% です。 ガチャは 期待値の周辺に分散しているので、 「期待値の回数まで引いても出ない」 ことは普通に起きます。

期待値 1/p (= p=3% なら 33 連) は 平均の指標であって、 「半分の人がここまでに当たる」 (= 中央値) ではありません。 中央値は別の式で計算します。

「X% の確率に到達するのに必要な n 連」 は、 P(X≥1) = X となる n を解いて:

n = log(1 − X) / log(1 − p)

注目すべきは 中央値が期待値より小さいこと (例: p=3% で中央値 23 連 vs 期待値 33 連)。 幾何分布は右に長い尾を持ち、 まれな長期未当選が平均を中央値より上へ押し上げるためです。

そして 50% から 99% に上げるための追加回数の伸び方が異様です。 p=3% で見ると 50% → 90% で +53 連、 90% → 99% でさらに +76 連。 確率の世界では「あと一歩」 の代償が指数関数的に重くなります。

ここでは「同じ対象を指定回数だけ通常抽選し、 すべて外れた場合に追加抽選なしで確定付与する」という単純なハード天井だけを考えます。 PU 0.7%、 180 回の通常抽選がすべて外れた場合に同じ対象を確定する簡略モデルでは:

P(180 連で 1 回以上 PU 入手)
  = 1                              (天井で確定)

P(180 回の通常抽選で 1 回以上当たる確率)
  = 1 − (1 − 0.007)¹⁸⁰
  ≈ 71.76 %

この前提なら、 通常抽選で1回以上当たる確率は71.76%、 全て外れて確定処理が必要になる確率は28.24%です。 ただし実際の天井は、 確率上昇、 すり抜け、 交換ポイント、 対象違い、 期間リセット、 別ガチャへの持ち越し等で意味が変わります。

天井回数は金銭的な支出上限を単独では決めません。 価格、 購入単位、 有償・無償通貨、 ボーナス、 持ち越し条件を公式表示で別に確認してください。 本記事と計算機は課金・購入を推奨せず、 支出可能額も判定しません。

「30 連で SSR を 2 個以上欲しい」 のような複数当選の確率は、 二項分布 B(n, p) で計算します。

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ

p = 0.03, n = 33 のとき
  P(X = 0) ≈ 36.60 %
  P(X = 1) ≈ 37.35 %
  P(X = 2) ≈ 18.48 %
  P(X = 3) ≈ 5.91 %
  P(X ≥ 2) ≈ 26.05 %
  P(X ≥ 3) ≈  7.56 %

二項分布の期待値は単純に n·p (33 連 × 3% = 0.99 個)、 分散は n·p·(1−p) です。 期待値 1 を中心に左右に裾を引きますが、 ガチャは p が小さいので「0 個側」 に強く偏ります。

「狙いの SSR を 2 個以上欲しい」 のような目的では、 1 個以上出すよりはるかにハードルが上がります。 p=3% で 2 個以上出すには:

• 30 連: 22.7% (1 個以上は 59.9%)
• 50 連: 44.5% (1 個以上は 78.2%)
• 100 連: 80.5% (1 個以上は 95.2%)

このギャップが「凸を取るのは別物」 と言われる根拠です。

消費者庁は、 オンラインゲームの取引条件等を実際より著しく有利と誤認させる表示が景品表示法上問題になり得ると案内しています。

公表された事案では、 あるキャラクターの1回あたり出現確率を3%と表示し、 実際は0.333%だったとして措置命令が行われ、 後の課徴金納付命令は金額を609万円としています。 次の表は両方を固定確率の独立抽選と仮定した数学上の比較です。

100回で全部外れる計算値は約4.76%と約71.64%で大きく異なります。 ただし本ツールは公示値と実抽選の一致を検証できません。 運営元の訂正告知と、 消費者庁等の一次資料を確認してください。

いわゆるコンプガチャについて、 消費者庁は異なる種類の符票の特定の組合せをそろえて別の経済上の利益を得る仕組みが「カード合わせ」に当たり得ると説明しています。 単純な1対象の二項分布とは別問題なので、 本計算機では扱いません。

1. 平均と累積確率を分ける。 1/pは初当たりまでの平均であり、 その回数以内に当たる保証ではありません。
2. 抽選モデルを確認する。 固定確率の独立抽選か、 確率上昇・すり抜け・交換ポイント・天井リセットがあるかで式が変わります。
3. 狙う対象の確率を確認する。 レアリティ全体とPU単体を混同せず、 訂正告知を含む公式表示を確認します。

ガチャ確率計算機は、 固定確率pと回数nから1回以上当たる確率、 初当たり平均、 指定確率への回数、 二項分布の代表点を表示します。 天井は同じ対象が確定する単純なハード天井だけを1回以上入手の確率へ反映します。

結果は娯楽上の概算です。 個々の結果、 商品価値、 支出可能額を保証せず、 課金・購入の推奨にも使えません。