72 の法則は実は 1494 年生まれ — 厳密値との誤差を全金利で検算する

72 の法則は次のシンプルな式で書けます:

倍化年数 (近似) = 72 / 年利%

具体例:

• 年利 6% → 72/6 = 12 年で 2 倍
• 年利 4% → 72/4 = 18 年で 2 倍
• 年利 8% → 72/8 = 9 年で 2 倍
• 年利 3% → 72/3 = 24 年で 2 倍

対数や指数を持ち出さずに「2 倍になる年数」 が出てくるところが、 この近似の最大の魅力です。 暗算でき、 ホワイトボードに即書ける、 議論を止めない ― この実用性が 5 世紀以上にわたって金融教育の入門ツールとして残ってきた理由です。

複利の倍化式は単純な指数方程式です。 元本 P が年利 r で t 年後に 2 倍になる条件は:

P × (1 + r)^t = 2P
     → (1 + r)^t = 2
     → t · ln(1 + r) = ln 2
     → t = ln(2) / ln(1 + r)   ← 厳密値

この t を簡単な形で近似したい。 r が小さければ ln(1+r) ≈ r なので:

t ≈ ln(2) / r ≈ 0.693 / r = 69.3 / r%

これが連続複利での厳密値「69.3 の法則」 です。 ところが「69.3」 は割り算しにくい数字。 そこで微妙に大きい 72 を使うと、 1 年複利 (年 1 回利息計上) の現実に合う + 約数が多い (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) という二重の都合の良さがあります。 5〜10% の実用金利帯で誤差が最小化されるよう設計された絶妙な値、 と言えます。

では実際に、 各金利で 72/r% と厳密値 ln(2)/ln(1+r) を比較するとどれだけずれるのか。 全件 Node.js で計算しました:

注目すべき点:

• 年利 8% ちょうどで誤差が −0.07% ― 実用上ほぼ完璧
• 5〜10% の範囲で誤差 ±1.4% 以内 ― 株式リターンの目安と一致
• 低金利 (2〜3%) で +2〜3% 過大評価、 高金利 (15〜20%) で 3〜5% 過小評価
• 8% を境に符号が反転 (低金利では遅め、 高金利では速め に出る)

「日本の定期預金 (年 0.01%)」 や「クレジットカードのリボ払い (年 18%)」 など極端な金利には不向きですが、 株式・債券・住宅ローンの想定金利帯では十分実用的、 という結論になります。

金利帯に応じて、 72 以外の数値を使う流派もあります:

日常の投資判断で覚えるべきは 72 のみ。 実用帯の精度が十分高く、 約数が多いので 2 / 3 / 4 / 6 / 8 / 9 / 12 のいずれの金利でも整数年が出る、 という体験設計上の優位性も大きい。

暗算でできる「複利感覚チェック」 の例:

• 定期預金 0.01% vs インフレ 2%: 0.01% で倍化 7200 年、 一方インフレで実質半減は 36 年 ― 預金は長期的に目減りすると分かる
• NISA で年 5%: 72/5 ≒ 14 年で倍。 つみたて 20 年なら累積で 4 倍以上 (= 倍が 2 回 + α) のイメージが持てる
• クレジットカード 15% リボ: 72/15 ≒ 4.8 年で借金が倍。 元本 50 万円が 5 年で 100 万円相当の負担に
• ETF 年率 7%: 約 10 年で 2 倍、 20 年で 4 倍、 30 年で 8 倍 (= 2³)

「3 倍・10 倍」 の法則も同様に

72 と同じ発想で、 元本が n 倍になる年数の近似は ln(n) × 100 / 年利%:

• 3 倍: ln(3) × 100 ≒ 109.86、 → 110 / 年利% の法則
• 10 倍: ln(10) × 100 ≒ 230.26、 → 230 / 年利% の法則

例: 年利 7% なら 230/7 ≒ 33 年で元本が 10 倍。 「老後資金は給料 30 倍を貯めろ」 のような目標感も、 この近似で逆算できます。

暗算ツールである以上、 厳密な数値が要る場面では使えません:

• マイナス金利 / 預金: 0.01% で「7200 年で倍」 という値そのものは正しいが、 実質的に意味がない (税・物価考慮で必ず目減り)
• 変動利回り: 株式リターンは毎年変動するので「年利 5% で 14 年後」 はあくまで平均ベース。 ボラティリティ (年率変動) は無視している
• 税引後: 特定口座は運用益に 20.315% の税金。 7% リターンが実質 5.6% に下がり、 倍化年数も 10 → 13 年に伸びる
• インフレ調整: 名目利回り 5% でもインフレ 2% なら実質 3%、 実質倍化は 24 年

「実際の」 数値が必要なら厳密計算を。 複利計算機ツール は 72 の法則の厳密値も併記表示するので、 「概算 vs 精密」 のズレを目で確認できます。 NISA / 特定口座の税引後評価、 月次積立を加味したシミュレーションまで対応しています。

パチョーリの「72 を念頭に置け」 から 530 年。 同じ式が今もホワイトボードに書かれ続けているのは、 それだけ「複利の感覚を最短経路で掴ませてくれる」 強力な近似だったから。 仕組みを 1 度理解しておけば、 一生使える金融リテラシーの基礎になります。